В 1965 году Юозас Домаркас закончил обучение в Санкт-Петербургской государственной консерватории по специальности «Симфоническое дирижирование» под руководством профессора И. Мусина. В 1963 году занимался у известного французского дирижера И.Маркевича. С 1964 года дирижирует Литовским национальным симфоническим оркестром. В качестве приглашенного дирижера Ю. Домаркас часто сотрудничает с известными оркестрами Восточной Европы и других стран. Состоял в жюри IV, V и VII Конкурсов дирижеров им. Г.Фительберга в г.Катовице (Польша, 1991, 1995, 2001 гг.) и I и II Международного конкурса дирижеров им. С.Прокофьева в Санкт-Петербурге (1993, 1996 гг.).
Маэстро Домаркас часто исполняет современную музыку. Многие композиторы современности посвящают свои произведения именно ему. Некоторые из этих работ были впервые исполнены и записаны под управлением Ю.Домаркаса.
За свою долгую карьеру Юозас Домаркас выступал в самых известных залах Санкт-Петербурга, Москвы, Варшавы, Праги, Берлина, Братиславы, Киева, Любляны и др. Вместе с Литовским национальным симфоническим оркестром гастролировал в Германии, Испании, Великобритании, Франции, Австрии, Италии, Польше, Греции, Швейцарии, Голландии, Норвегии, Швеции, Португалии, Корее, Японии.
В настоящее время Профессор Юозас Домаркас занимает пост главы Отделения дирижирования в Литовской Академии музыки.
Музыкальные критики всегда отмечают характерные черты творчества Юозаса Домаркаса – высокую культуру и зрелость музыкальной мысли, склонность к монументальности, яркую, эмоциональную манеру исполнения, тонкий вкус и стиль.
В 1998 году Юозас Домаркас был награжден Орденом Великого Князя Литовского Гедиминаса 1-й степени. В 1997 году он получил награду Правительства Литвы «За вклад в развитие литовской культуры». В 2000 году – награжден Национальной премией Литовской Республики.